Question

設f(x)=log₂,F(x)=+f(x). 

(1)試判斷函數f(x)的單調性，并用函數單調性定義，給出證明；

(2)若f(x)的反函數為f^－1(x),證明: 對任意的自然數n(n≥3),都有f^－1(n)>;

(3)若F(x)的反函數F^－1(x),證明: 方程F^－1(x)=0有惟一解.

Answer 1

(1) F(x)在(－1，1）上是增函數，(2)證明略 (3)證明略

解析:

(1)由>0,且2－x≠0得F(x)的定義域為(－1，1)，

設－1＜x₁＜x₂＜1,則

F(x₂)－F(x₁)=()+()

,

∵x₂－x₁>0,2－x₁>0,2－x₂>0,∴上式第2項中對數的真數大于1.

因此F(x₂)－F(x₁)>0,F(x₂)>F(x₁),∴F(x)在(－1，1）上是增函數. 

(2)證明： 由y=f(x)=得  2^y=,

∴f^－1(x)=,∵f(x)的值域為R，∴f^-－1(x)的定義域為R.

當n≥3時，

f^-1(n)>.

用數學歸納法易證2ⁿ>2n+1(n≥3),證略.

(3)證明:∵F(0)=,∴F^－1()=0,∴x=是F^－1(x)=0的一個根.

假設F^－1(x)=0還有一個解x₀(x₀≠),則F^-1(x₀)=0,于

是F(0)=x₀(x₀≠). 這是不可能的，故F^-1(x)=0有惟一解.