Question

【題目】設函數.

（1）討論函數的單調性；

（2）若，證明恒成立.

Answer 1

【答案】（1）當時，在區間上單調遞增；當時，在區間上單調遞減，在區間上單調遞增；（2）證明見詳解.

【解析】

（1）求導，對參數進行分類討論，進而求得函數的單調區間；

（2）將恒成立問題，轉化兩個函數最值之間的問題，進而求解.

（1）由題意得，.

①當時，，故函數在區間上單調遞增；

②當時，在區間上，，在區間上，，

故函數在區間上單調遞減，在區間上單調遞增.

（2）證明：

要證，只需證.

又，故只需證即可.

設，則，

在區間上，，在區間上，，

故函數在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，

所以.

設，則，

在區間上，，在區間上，，

故函數在區間上單調遞增，在區間上單調遞減，

所以.

又，所以.

又因為，所以，

所以，

故在上，，

綜上，恒成立.