Question

已知極坐標系的極點在直角坐標系的原點，極軸與x軸的正半軸重合，曲線C的極坐標方程為ρ²cos²θ+3ρ²sin²θ=3，直線l的參數方程為

x=- 3 t y=1+t

(t為參數，t∈R)．試在曲線C上求一點M，使它到直線l的距離最大．

Answer 1

分析：先利用直角坐標與極坐標間的關系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，將極坐標方程ρ²cos²θ+3ρ²sin²θ=3化成直角坐標方程，再消去參數t將直線l的參數方程化成普通方程，最后利用設點M的坐標的參數形式，結合點到直線的距離公式求解即得．

解答：解：曲線C的普通方程是

x2

3

+y2=1．（2分）
直線l的普通方程是x+

3

y-

3

=0．（4分）
設點M的坐標是(

3

cosθ，sinθ)，則點M到直線l的距離是d=

| 3 cosθ+ 3 sinθ- 3 |

2

=

3 | 2 sin(θ+ π 4 )-1|

2

．（6分）
因為-

2

≤

2

sin(θ+

π

4

)≤

2

，所以
當sin(θ+

π

4

)=-1，即θ+

π

4

=2kπ-

π

2

(k∈Z)，即θ=2kπ-

3π

4

(k∈Z)時，
d取得最大值．（8分）
此時

3

cosθ=-

6

2

，sinθ=-

2

2

．
綜上，點M的坐標為(-

6

2

，-

2

2

)時，距離最大．(10分)

點評：本題考查點的極坐標、參數方程和直角坐標的互化、點到直線的距離公式以及三角函數最值的求法，屬于中檔題．