Question

已知極坐標系的極點在直角坐標系的原點，極軸與x軸的非負半軸重合．曲線C₁的極坐標方程為ρsin²θ=2cosθ，曲線C₂的參數方程為

x=2+tcosα y=tsinα

（t為參數）．
（1）求曲線C₁的直角坐標方程及α=

π

3

時曲線C₂的普通方程；
（2）設E（2，0），曲線C₁與C₂交于點M、N，若ME=2NE，求MN的長．

Answer 1

分析：（1）把曲線C₁的極坐標方程化為直角坐標方程．當α=

π

3

時，用代入法消去參數t，可得曲線C₂的普通方程．
（2）把曲線C₂的參數方程消去參數t，化為直角坐標方程，并把它代入曲線C₁的直角坐標方程，求得 y=

1± 1+4tan2α

tanα

．再由ME=2NE化簡可得 tan²α=2，再根據MN=

1+ 1 tan2α

•|y₁-y₂|，計算求得解果．

解答：解：（1）曲線C₁的極坐標方程ρsin²θ=2cosθ，即 ρ²•sin²θ=2ρcosθ，即 y²=2x．
當α=

π

3

時曲線C₂的普通方程為

3

x-y-2

3

=0．
（2）把曲線C₂的參數方程

x=2+tcosα y=tsinα

 消去參數t，化為直角坐標方程即 y=tanα（x-2），
由

y2=2x y=tanα(x-2)

 求得 y=

1± 1+4tan2α

tanα

．
由ME=2NE可得1+

1+4tan2α

=2（

1+4tan2α

-1），整理可得 tan²α=2，
∴MN=

1+ 1 tan2α

•|y₁-y₂|=

1+ 1 tan2α

•

2 1+4tan2α

|tanα|

=3

3

．

點評：本題主要考查把參數方程、極坐標方程化為直角坐標方程的方法，弦長公式的應用，屬于中檔題．