Question

已知點A（2，8），B（x，y），C（x，y）在拋物線y=2px上，△ABC的重心與此拋物線的焦點F重合（如圖）。
（1）寫出該拋物線的方程和焦點F的坐標；
（2）求線段BC中點M的坐標。

Answer 1

（1）拋物線方程為y=32x，焦點F的坐標為（8,0）。
（2）點M的坐標為（11，－4）。

（1）由點A（2，8）在拋物線y=2px上，有8＝2p·2，解得p=16。
所以拋物線方程為y=32x，焦點F的坐標為（8,0）。
（2）如原題上圖，由于F（8,0）是△ABC的重心，M是BC的中點，所以F是線段AM的定比分點，且＝2。設點M的坐標為（x，y）,則＝8，＝0，
解得x=11，y=－4。所以點M的坐標為（11，－4）。