Question

已知定義在R上的函數f（x）滿足以下條件：①f（1）=2；②當x＞0時，f（x）＞1；③對任何x，y∈R都有f（x+y）=f（x）f（y）求證：
（1）f（0）=1；
（2）當x＜0時，0＜f（x）＜1；
（3）函數f（x）在R上是單調增函數．

Answer 1

分析：（1）令x=0，y=1，利用條件可得結論；
（2）當x＜0時，-x＞0，則f（-x）＞1，利用f（0）=1，可得結論；
（3）利用函數單調性的定義，設x₁＜x₂，證明

f(x1)

f(x2)

＜1，即可得到結論．

解答：證明：（1）令x=0，y=1，則f（1）=f（1+0）=f（1）f（0）=2f（0）=2
∴f（0）=1；
（2）當x＜0時，-x＞0，則f（-x）＞1
∴f（0）=f[x+（-x）]=f（x）f（-x）=1
∴f(x)=

1

f(-x)

∴當x＜0時，0＜f（x）＜1；
（3）設x₁＜x₂，則x₁-x₂＜0，
∴

f(x1)

f(x2)

=

f[(x1-x2)+x2]

f(x2)

=

f(x1-x2)f(x2)

f(x2)

=f（x₁-x₂）＜1
由（1）知，f（x）＞0，∴f（x₁）＜f（x₂）
∴函數f（x）在R上是單調增函數．

點評：本題考查抽象函數，考查賦值法的運用，考查函數單調性的證明，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．