Question

已知定義在R上的函數y=f（x）滿足下列條件：
①對任意的x∈R都有f（x+2）=f（x）；
②若0≤x₁＜x₂≤1，都有f（x₁）＞f（x₂）；
③y=f（x+1）是偶函數，
則下列不等式中正確的是（　　）

A．f（7.8）＜f（5.5）＜f（-2）

B．f（5.5）＜f（7.8）＜f（-2）

C．f（-2）＜f（5.5）＜f（7.8）

D．f（5.5）＜f（-2）＜f（7.8）

Answer 1

分析：利用函數的周期性f（7.8）=f（1.8）；f（5.5）=f（1.5）；f（-2）=f（0）；再利用函數y=f（x+1）為偶函數化簡到區間[0，1]，再利用函數的單調性比較函數值的大小即可．

解答：解：∵對任意的x∈R都有f（x+2）=f（x），∴函數是以2為周期的周期函數；
根據若0≤x₁＜x₂≤1，都有f（x₁）＞f（x₂），函數在區間[0，1]上是減函數；
∵y=f（x+1）是偶函數，∴f（-x+1）=f（x+1），其圖象關于x=1直線對稱，
∴f（-2）=f（0）；
f（7.8）=f（6+1.8）=f（1.8）=f（0.8+1）=f（-0.8+1）=f（0.2）；
f（5.5）=f（4+1.5）=f（1.5）=f（0.5+1）=f（-0.5+1）=f（0.5）；
∵0≤x₁＜x₂≤1，都有f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（-2）＞f（7.8）＞f（5.5）．
故選B

點評：本題考查抽象函數的性質及應用．