Question

已知函數(shù)f（x）=

3

sin²x+sinxcosx-

3

2

．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）設(shè)△ABC的三個(gè)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若f（

A

2

+

π

4

）=1，且a=2，求b+c的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理,兩角和與差的正弦函數(shù),二倍角的余弦,三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）利用二倍角公式以及兩角和與差的三角函數(shù)，利用三角函數(shù)的周期公式求解即可；
（2）利用正弦定理區(qū)別b，c的值，b+c為B的正弦函數(shù)，通過(guò)三角函數(shù)值域，求出b+c的取值范圍．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=

3

sin²x+sinxcosx-

3

2

=

1

2

sin2x-

3

2

cos2x=sin（2x-

π

3

），
∴函數(shù)的最小正周期為：π．
（2）f（

A

2

+

π

4

）=1，∴sin（A+

π

6

）=1，∵A∈（0，π），∴A=

π

3

，
∴由正弦定理可得：b=

asinB

sinA

=

4 3 sinB

3

，c=

4 3

3

sinC，
∴b+c=

4 3

3

(sinB+sinC)=

4 3

3

[sinB+sin(A+B)]=

4 3

3

sinB+

4 3

3

sin(

2π

3

-B)]=4sin(B+

π

6

)，
∵A=

π

3

∴B∈(0，

2π

3

)，
∴B+

π

6

∈(

π

6

，

5π

6

)，
∴sin(B+

π

6

)∈(

1

2

，1]，4sin(B+

π

6

)∈（2，4]
∴b+c的取值范圍：（2，4]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查正弦定理的應(yīng)用，三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，三角函數(shù)的周期的求法，函數(shù)的值域的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．