Question

【題目】如圖，在中，，點在線段上.過點作交于點，將沿折起到的位置（點與重合），使得.

（Ⅰ）求證：.

（Ⅱ）試問：當點在線段上移動時，二面角的平面角的余弦值是否為定值？若是，求出其定值；若不是，說明理由.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)證明見解析；(Ⅱ)答案見解析.

【解析】分析：（1）由已知條件，結合線面垂直的判定定理和性質定理，即可得到.

（2）過點作，則，，兩兩垂直，以B為坐標原點，以， 的方向分別為軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標系.設，應用空間向量，分別求得兩平面的法向量，計算兩平面法向量夾角，證明點在線段上移動時，二面角的平面角的余弦值為定值，且定值為.

詳解：證明：（Ⅰ）在中，

因為，所以，所以，，

又因為，平面，所以平面.

又因為平面，所以.

（Ⅱ）在平面內，過點作于點，

由（Ⅰ）知平面，所以，

又因為，平面，所以平面.

在平面內過點作直線，則平面.

如圖所示，以為坐標原點，，，的方向分別為軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標系.

設，

又因為，

所以，.

在中，，

所以，，所以，

所以，，.

從而，.

設是平面的一個法向量，

所以，即，

所以，

取，得是平面的一個法向量.

又平面的一個法向量為，

設二面角的平面角為，

則 .

因此當點在線段上移動時，二面角的平面角的余弦值為定值，且定值為.