Question

【題目】設函數，給定數列，其中,.

（1）若為常數數列，求a的值；

（2）當時，探究能否是等比數列？若是，求出的通項公式；若不是，說明理由；

（3）設，數列的前n項和為，當a=1時，求證：.

Answer 1

【答案】(1)a=0或；（2）①見解析；(3)見詳解.

【解析】

(1)數列是常數數列即有 ,再利用可得關于a的等式;

(2)由可得數列的遞推關系式,然后取倒數,化解為,討論首項a是否為零,確定數列是否為等比數列;

(3)由(2)求得數列,通過放縮法將數列再利用錯位相減法即可證明.

（1） 為常數列，則，

由得 即

解得：a=0或.

（2）,

當時，，得

①當時，不是等比數列.

②當 時，是以2為公比，以為首項的等比數列，

所以， .

（3）當時， ,

設 ①

②

①-②得

所以

所以