Question

【題目】已知函數

（1）若，求函數的單調區間；

（2）若關于的不等式在上恒成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）函數的單調遞增區間為，單調減區間為（2）

【解析】

（1）將代入函數的解析式，求出該函數的定義域和導數，然后分別解不等式和，即可得出該函數的減區間和增區間；

（2）由題意得出不等式對任意的恒成立，構造函數，利用導數分析出函數在區間上的單調性，得出該函數的最大值，結合，可求出實數的取值范圍.

（1）當時，，其定義域為，

則，當時，當時，

故函數的單調遞增區間為，單調減區間為；

（2）不等式，即，即，

由題可知在上恒成立，

令，則，

令，則，

①若，則，函數在上單調遞增，

所以，則，不符合題意；

②若，則當時，函數在上單調遞增，

所以當時，，則，不符合題意；

③若，則在上恒成立，函數在上單調遞減，

所以，所以，符合題意．

綜上，，故實數的取值范圍為．