Question

【題目】已知點在圓： 上，而為在軸上的投影，且點滿足，設動點的軌跡為曲線.

（1）求曲線的方程；

（2）若是曲線上兩點，且， 為坐標原點，求的面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】試題分析：

由可知，N為中點，用相關點法可以求出N點的軌跡方程。

分斜率存在和不存在討論，當斜率存在時，設直線方程為： ，與橢圓組方程組，利用弦長公式和韋達定理建立k，t的關系式。再利用點到直線的距離公式和面積公式用k,t表示三角形面積，消t，換元可解。

試題解析：

（1）設, 軸，所以

又設,由有代入即曲線的方程為

（2）設， ，直線方程為： ，

聯立得，故，

由4，得，

故原點到直線的距離，∴，

令，則，又∵， 當.

當斜率不存在時， 不存在，綜合上述可得面積的最大值為1.