Question

已知橢圓的中心在原點，焦點在y軸上，離心率為

2

2

，且橢圓經過圓C：x²+y²-3x+4y=0的圓心C．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）設直線l：y=kx+1與橢圓交于A，B兩點，點P（0，

1

3

）且|PA|=|PB|，求直線的方程．

Answer 1

分析：（1）圓C：x²+y²-3x+4y=0的圓心C（1，-2），設橢圓方程為

y2

a2

+

x2

b2

=1，(a＞b＞0)，依題意有

c a = 2 2 c2=a2-b2 4 a2 + 1 b2 =1

，由此能求出橢圓方程．
（2）由

y=kx+1 y2+2x2=6

，得（k²+2）x²+2kx-5=0，由△=4k²+20（k²+2）=24k²+40＞0，知直線與橢圓必有兩個不同的交點，設兩交點坐標A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中點M（

x1+x2

2

，

y1+y2

2

），由此入手，能夠求出直線方程．

解答：解：（1）圓C：x²+y²-3x+4y=0的圓心C（1，-2），
設橢圓方程為

y2

a2

+

x2

b2

=1，(a＞b＞0)，
依題意有

c a = 2 2 c2=a2-b2 4 a2 + 1 b2 =1

，解得

a2=6 b2=3

，
∴橢圓方程為

y2

6

+

x2

3

=1．
（2）由

y=kx+1 y2+2x2=6

，得（k²+2）x²+2kx-5=0，
∴△=4k²+20（k²+2）=24k²+40＞0，
故直線與橢圓必有兩個不同的交點，
設兩交點坐標A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中點M（

x1+x2

2

，

y1+y2

2

），
∴x1+x2=

-2k

k2+2

，x1•x2=

-5

k2+2

，
∴

x1+x2

2

=

-k

k2+2

，

y1+y2

2

=k•

-k

k2+2

+1=

2

k2+2

，(*)，
∵|PA|=|PB|，∴PM⊥AB，
①當k=0時，直線l：y=1，此時A，B關于y軸對稱，滿足PM⊥AB；
②當k≠0時，kAM•k=

y1+y2 2 - 1 3

x1+x2 2 -0

=

2 k2+2 - 1 3

-k k2+2

=-1（k≠0），
解得k=1或k=-1，
∴直線l：y=x+1或y=-x+1．
綜上所述，直線l的方程為y=1或y=x+1或y=-x+1．

點評：本題考查橢圓方程和直線方程的求法，具體涉及到圓的性質、橢圓的性質、直線與圓錐曲線的位置關系的綜合應用、根的判別式、韋達定理等基本知識點，考查化歸與轉化、分類與整合的數學思想，培養學生的抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力和創新意識．