Question

已知橢圓的中心在原點，一個焦點F₁（0，-2

2

），且離心率e滿足：

2

3

，e，

4

3

成等比數列．
（1）求橢圓方程；
（2）直線y=x+1與橢圓交于點A，B．求△AOB的面積．

Answer 1

分析：（1）依題意e=

2 2

3

，F₁（0，-2

2

），c=2

2

，a=3，b=1，由此能求出橢圓方程．
（2）由

y=x+1 x2+ y2 9 =1

，得5x²+x-4=0，故|AB|=

9 2

5

，又O到直線y=x+1的距離為

2

2

，由此能求出△AOB的面積．

解答：（本題滿分12分）
解：（1）∵

2

3

，e，

4

3

成等比數列，
∴e2=

2

3

×

4

3

=

8

9

，∴e=

2 2

3

…（1分）．
∵橢圓的中心在原點，一個焦點F₁（0，-2

2

），
∴F₁（0，-2

2

），c=2

2

…（2分），
∴a=

c

e

=

2 2

2 2 3

=3，b=

a2-c2

=1，…（4分）
∴所求方程為x²+

1

9

y²=1．…（5分）
（2）由

y=x+1 x2+ y2 9 =1

消去y，得5x²+x-4=0，…7分
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x1+x2=-

1

5

，x1x2=-

4

5

，
∴|AB|=

2( 1 25 + 16 5 )

=

9 2

5

…（9分）
又O（0，0）到直線y=x+1的距離d=

|0-0+1|

2

=

2

2

…（11分）
∴△AOB的面積S=

1

2

×

9 2

5

×

2

2

=

9

10

．…（12分）

點評：本題考查橢圓方程和求法和三角形面積的求法，具體涉及到橢圓的基礎知識，直線與橢圓的位置關系，弦長公式、點到直線的距離公式等基本知識點，解題時要認真審題，仔細解答．