Question

已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為

2

2

，且橢圓經(jīng)過(guò)圓C：x²+y²-4x+2

2

y=0的圓心C．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)直線l過(guò)橢圓的焦點(diǎn)且與圓C相切，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）把圓C的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)而求得圓心和半徑，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)題設(shè)得方程組求得a和b，則橢圓的方程可得．
（2）跟橢圓方程求得焦點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離求得|F₂C|小于圓的半徑，判斷出F₂在圓C內(nèi)，過(guò)F₂沒(méi)有圓C的切線，設(shè)直線的方程，求得點(diǎn)C到直線l的距離進(jìn)而求得k，則直線方程可得．

解答：解：（1）圓C方程化為：（x-2）²+（y+

2

）²=6，圓心C（2，-

2

），半徑r=

6

設(shè)橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），則

4 a2 + 2 b2 =1 1-( b a )2=( 2 2 )2

?

a2=8 b2=4

所以所求的橢圓的方程是：

x2

8

+

y2

4

=1．
（2）由（1）得到橢圓的左右焦點(diǎn)分別是F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0），
|F₂C|=

(2-2)2+(0+ 2) 2

=

2

＜

6

∴F₂在C內(nèi)，故過(guò)F₂沒(méi)有圓C的切線，設(shè)l的方程為y=k（x+2），即kx-y+2k=0
點(diǎn)C（2，-

2

）到直線l的距離為d=

|2k+ 2 +2k|

1+k2

，由d=

6

得

|2k+ 2 +2k|

1+k2

=

6

解得：k=

2

5

或k=-

2

，故l的方程為

2

x-5y+2

2

=0或

2

x+y+2

2

=0

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．考查了學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力．