Question

1．    (本小題滿分12分)

古代印度婆羅門教寺廟內(nèi)的僧侶們曾經(jīng)玩過一種被稱為“河內(nèi)寶塔問題”的游戲，其玩法如下：如圖，設(shè)有n（）個(gè)圓盤依其半徑大小，大的在下，小的在上套在A柱上，現(xiàn)要將套在A柱上的盤換到C柱上，要求每次只能搬動(dòng)一個(gè)，而且任何時(shí)候不允許將大盤套在小盤上面，假定有三根柱子A、B、C可供使用．

現(xiàn)用a_n表示將n個(gè)圓盤全部從A柱上移到C柱上所至少需要移動(dòng)的次數(shù)，回答下列問題：

(1)    寫出a₁，a₂，a₃，并求出a_n；

(2)    記，求和（）；

（其中表示所有的積的和）

(3)    證明：．

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）（3）略

【解析】(1)

事實(shí)上，要將個(gè)圓盤全部轉(zhuǎn)移到C柱上，只需先將上面個(gè)圓盤轉(zhuǎn)移到B柱上，需要次轉(zhuǎn)移，然后將最大的那個(gè)圓盤轉(zhuǎn)移到C柱上，需要一次轉(zhuǎn)移，再將柱上的個(gè)圓盤轉(zhuǎn)移到C柱上，需要次轉(zhuǎn)移，所以有

則，所以

(2)

則

    

     （）

(3) 令，則當(dāng)時(shí)

             

又，所以對一切有：

另方面恒成立，所以對一切有

綜上所述有：