Question

【題目】如圖，三棱柱ABC﹣A1B1C1的側面AA1B1B是菱形，側面AA1C1C是矩形，平面AA1C1C⊥平面AA1B1B，∠BAA1，AA1=2AC=2，O為AA1的中點.

（1）求證:OC⊥BC1；

（2）求點C1到平面ABC的距離.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析 (2)

【解析】

（1）連接，AA1=2AC=2，O為AA1的中點，可得 ，可證 ，側面AA1B1B是菱形，，有，結合平面AA1C1C⊥平面AA1B1B，可證

平面AA1C1C，可得，進而有平面，即可證明結論；

（2），可證平面，點C1到平面ABC的距離與點A1到平面ABC的距離相等，由（1）平面AA1C1C，求出的面積，用等體積法

，即可求解.

(1)證明：連接，AA1=2AC=2，O為AA1的中點，

，，

因為側面AA1B1B是菱形，，

所以為等邊三角形，O為AA1的中點，

所以，平面AA1C1C⊥平面AA1B1B，

平面AA1C1C平面AA1B1B平面AA1B1B，

所以平面AA1C1C，同理可證平面AA1B1B，

平面AA1C1C，所以，

平面，所以平面，

因為平面，所以；

（2）因為側面AA1C1C是矩形，所以，

平面，平面，

所以平面，

點C1到平面ABC的距離與點A1到平面ABC的距離相等，

設C1到平面ABC的距離為，

由（1）得平面AA1C1C，平面AA1B1B，

所以，

，

，

所以點C1到平面ABC的距離為.