Question

如圖，傾斜角為α的直線經過拋物線y²=4x的焦點，且與拋物線交于A、B兩點，Q為A、B中點，
（1）求拋物線的焦點坐標及準線l方程；　
（2）若α≠，作線段AB的垂直平分線m交x軸于點P，證明：|AB|=2|PF|．

Answer 1

解：（1）∵拋物線的方程是y²=4x，
∴2p=4，可得=1，拋物線的焦點坐標為（1，0），準線方程是x=-1．
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），Q（x₀，y₀），
根據拋物線的定義，可得|AF|=x₁+，|BF|=x₂+，
∴|AB|=|AF|+|BF|=x₁+x₂+p=x₁+x₂+2
∵Q為A、B中點，
∴x₁+x₂=2x₀，且y₁+y₂=2y₀．因此可得|AB|=2x₀+2
∵A、B兩點在拋物線y²=4x上，
∴y₁²=4x₁，且y₂²=4x₂，兩式相減，再分解得：
（y₁+y₂）（y₁-y₂）=4（x₁-x₂），
∴直線AB的斜率為，
因此，中垂線斜率滿足，所以
∴直線m的方程為
令y=0，得P點橫坐標為：x_p=x₀+2
所以|PF|=x_p-1=x₀+2-1=x₀+1
∴|AB|=2（x₀+1）=2|PF|
分析：（1）拋物線的方程是y²=4x，可得=1，從而得到拋物線的焦點坐標和準線方程；
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），Q（x₀，y₀），先根據拋物線的定義，推出|AB|=x₁+x₂+2，再由Q為A、B中點，結合中點坐標公式可得|AB|=2x₀+2．接下來求直線m的方程：運用點A、B的坐標代入拋物線方程，再作差，化簡得到直線AB的斜率為，利用垂直直線斜率的關系，得到中垂線斜率為，所以直線m的方程為y-y₀=．最后根據m方程得到點P的橫坐標為x₀+2，得到|PF|=x_p-1=x₀+1，從而證出|AB|=2|PF|．
點評：本題給出拋物線的焦點弦的中垂線，要求我們證明一個恒等式，著重考查了拋物線的定義和簡單性質，以及直線與拋物線的位置關系等知識點，屬于中檔題．