Question

（2013•安慶三模）如圖，傾斜角為θ的直線OP與單位圓在第一象限的部分交于點P，單位圓與坐標軸交于點A（-1，0），點B（0，-1），PA與y軸交于點N，PB與x軸交于點M，設

PO

=x

PM

+y

PN

（x，y∈R）
（1）用角θ表示點M、點N的坐標；
（2）求x+y的最小值．

Answer 1

分析：（1）設P（cosθ，sinθ），N（0，t），

AN

=λ

Ap

（λ為常數）．由向量的坐標運算化簡解出t=

sinθ

1+cosθ

，由此即可得到角θ表示點M、點N的坐標的表達式；
（2）由（1）得到向量

PM

、

PN

關于θ的坐標表示式，代入

PO

=x

PM

+y

PN

得到關于θ、x、y的方程組，化簡整理可得x+y=

2+sinθ+cosθ

1+sinθ+cosθ

=1+

1

1+ 2 sin(θ+ π 4 )

，由此結合0＜θ＜

π

2

，即可算出x+y的最小值為

2

．

解答：解：（1）設P（cosθ，sinθ），N（0，t）
根據P、N、A共線，設

AN

=λ

Ap

，（λ為常數） …①
又∵A（-1，0），∴

AN

=(1，t)，

AP

=（cosθ+1，sinθ），
代入①，解得t=

sinθ

1+cosθ

，
∴N（0，

sinθ

1+cosθ

），同理可得M（

cosθ

1+sinθ

，0）．…（4分）
（2）由（1）知

PO

=（-cosθ，-sinθ），

PM

=(

cosθ

1+sinθ

-cosθ，-sinθ)=(

-sinθcosθ

1+sinθ

，-sinθ)，

PN

=(-cosθ，

-sinθcosθ

1+cosθ

)，…（6分）
代入

PO

=x

PM

+y

PN

，得：

-cosθ=- sinθcosθ 1+sinθ x+(-cosθ)y -sinθ=(-sinθ)x- sinθcosθ 1+cosθ y

，
整理得：xsinθ+（1+sinθ）y=1+sinθ…②，（1+cosθ）x+ycosθ=1+cosθ…③．
②+③，解得：x+y=

2+sinθ+cosθ

1+sinθ+cosθ

=1+

1

1+sinθ+cosθ

=1+

1

1+ 2 sin(θ+ π 4 )

，…（10分）
由點P在第一象限得0＜θ＜

π

2

，
所以當且僅當θ=

π

4

時，x+y的最小值為

2

．     …（12分）

點評：本題在坐標系的單位圓中給出幾何關系式，求用θ表示點M、點N的坐標表示式和x+y的最小值．著重考查了平面向量的坐標運算、在實際問題中建立三角函數模型和三角函數的化簡求最值等知識，屬于中檔題．