Question

已知以原點為中心，F（

3

，0）為右焦點的橢圓C，過點F垂直于x軸的弦AB長為4．
（1）求橢圓C的標準方程．
（2）設M、N為橢圓C上的兩動點，且

OM

⊥

ON

，點P為橢圓C的右準線與x軸的交點，求

PM

•

PN

取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）設橢圓C的標準方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），由已知條件推導出|AB|=

2b2

a

=4，a2-b2=(

3

)2，由此能求出橢圓C的標準方程．
（2）設直線MN方程為y=kx+m，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則

y=kx+m x2 9 + y2 6 =1

，得（2+3k²）x²+6kmx+3m²-18=0，由此利用韋達定理結合已知條件能求出

PM

•

PN

的取值范圍．

解答： 解：（1）設橢圓C的標準方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
則|AB|=

2b2

a

=4，即b²=2a，
∵F（

3

，0）為橢圓右焦點，
∴a2-b2=(

3

)2，
解得a=3，b²=6，
∴橢圓C的標準方程為

x2

9

+

y2

6

=1．
（2）設直線MN方程為y=kx+m，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則

y=kx+m x2 9 + y2 6 =1

，得（2+3k²）x²+6kmx+3m²-18=0，
∴x1+x2=-

6km

2+3k2

，x1x2=

3m2-18

2+3k2

，
由

OM

⊥

ON

，得

OM

•

ON

=0，即x₁x₂+y₁y₂=0，
（1+k²）x1x2+km(x1+x2)+m2=0，

(1+k2)(3m2-18)

2+3k2

+

-6k2m2

2+3k2

+m2=0，
∴m2=

18

5

(1+k2)，此時△＞0，
橢圓C的右準線方程為x=3

3

，則P（3

3

，0）

PM

•

PN

=（x₁-3

3

，y₁）•（x2-3

3

，y₂）
=-3

3

（x₁+x₂）+27=27+

18 3 km

2+3k2

，
令T=

km

2+3k2

，則T2=

k2m2

(2+3k2)2

=

k2• 18 5 (1+k2)

(2+3k2)2

，
令t=2+3k²≥2，則T2=

18

5

•

t-2 3 • t+1 3

t2

=

2

5

•(-

2

t2

-

1

t

+1)∈[0，

2

5

）．
即T∈∈(-

10

5

，

10

5

)，

PM

•

PN

∈（27-

18

5

30

，27+

18

5

30

），
當MN⊥x軸時，令M（x₀，y₀），N（x₀，-x₀）在橢圓上，
則

x02

9

+

(-x0)2

6

=1，解得x0=±

3 10

5

．

PM

•

PN

=(x0-3

3

)2-x02=27-6

3

x0=27±

18 30

5

．
綜上，

PM

•

PN

∈[27-

18 30

5

，27+

18 30

5

]．

點評：本題考查橢圓的標準方程的求法，考查向量的數量積的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意函數與方程思想的合理運用．