Question

【題目】如圖，已知Rt△ABC，∠ABC＝90°，D是AC的中點，⊙O經過A，B，D三點，CB的延長線交⊙O于點E，過點E作⊙O的切線，交AC的延長線于點F.在滿足上述條件的情況下，當∠CAB的大小變化時，圖形也隨著改變，但在這個變化過程中，有些線段總保持著相等的關系．

(1)連接圖中已標明字母的某兩點，得到一條新線段與線段CE相等，并說明理由；

(2)若CF＝CD，求sin F的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】試題分析：

(1)AE＝CE.理由如下：連接AE，則AE＝CE.結合圓的直徑可知∠ADE＝90°，則AE＝CE；

(2)設CF＝x，則FA＝3x，FD＝2x，AD＝x.計算可得FE＝，則.

試題解析：

(1)連接AE，則AE＝CE.

∵∠ABE＝90°，

∴AE為直徑，連接DE.

則∠ADE＝90°，

又AD＝CD，

∴AE＝CE.

(2)設CF＝x，

則FA＝3x，FD＝2x，AD＝x.

∵FE為⊙O的切線，

∴AE⊥EF.

∴DE2＝AD·DF＝2x2，

即DE＝x.

FE2＝FD·FA＝2x·3x＝6x2，

即FE＝x.

∴sinF＝＝＝.