Question

已知E為不等式組

x+y≥2 x+2y≤4 y≥1

表示區域內的一點，過點E的直線m與M：（x-1）²+y²=14相交于A，C兩點，過點E與m垂直的直線交圓M于B、D兩點，當AC取最小值時，四邊形ABCD的面積為（　　）

• A．4

  5

• B．6

  7

• C．8

  42

• D．6

  14

Answer 1

分析：作出題中不等式組表示的平面區域，得到如圖所示的△PQN及其內部，由圓的性質得出當點E與圖中N點重合且直線m與經過E點的直徑垂直時，線段AC長取到最小值．由此利用兩點的距離公式和垂徑定理加以計算，即可得到當AC取最小值時四邊形ABCD的面積．

解答：解：作出不等式組

x+y≥2 x+2y≤4 y≥1

表示的平面區域，
得到如圖所示的△PQN及其內部，
其中Q（1，1），P（2，1），N（0，2）
根據題意，當點E與N重合，且直線m與經過E點的直徑垂直時，
線段AC長取到最小值，
∵M（1，0），得|MN|=

(1-0)2+(0-2)2

=

5

∴線段AC長最小時，|AC|=2

r2-|MN|2

=6
∵BD、AC互相垂直，線段AC長最小時BD為直徑
∴四邊形ABCD的面積為S=

1

2

|AC|•|BD|=

1

2

×6×2

14

=6

14

即當AC取最小值時，四邊形ABCD的面積為6

14

故選：D

點評：本題著重考查了圓的標準方程、直線與圓的位置關系和垂徑等知識，屬于中檔題．同時考查了一元二次不等式表示的平面區域和四邊形面積的求法等知識，是一道不錯的綜合題．