Question

【題目】已知正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且an2+2an＝4Sn﹣1（n∈N*）．

（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

（2）若bn，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，求Tn的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）an＝2n﹣1，n∈N*；（2）[，）.

【解析】

（1）題先利用公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化計(jì)算可發(fā)現(xiàn)數(shù)列{an}是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，即可計(jì)算出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

（2）題先根據(jù)第（1）題的結(jié)果計(jì)算出Sn的表達(dá)式，以及數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式，然后運(yùn)用裂項(xiàng)相消法計(jì)算出前n項(xiàng)和Tn，最后運(yùn)用放縮法即可計(jì)算得到Tn的取值范圍．

（1）由題意，當(dāng)n＝1時(shí)，a12+2a1＝4S1﹣1＝4a1﹣1，

整理，得a12﹣2a1+1＝0，

解得a1＝1．

當(dāng)n≥2時(shí)，由an2+2an＝4Sn﹣1，

可得，

兩式相減，

可得，

即an2﹣an﹣12＝2an+2an﹣1，

∴（an+an﹣1）（an﹣an﹣1）＝2（an+an﹣1），

∵an+an﹣1＞0，

∴an﹣an﹣1＝2，

∴數(shù)列{an}是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列．

∴an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，n∈N*．

（2）由（1）知，Sn＝n2＝n2，

則bn

[]，

∴Tn＝b1+b2+…+bn

（1）（）[]

[1]

[1]，

又∵an＞0，n∈N*，∴bn＞0，

∴Tn≥T1＝b1（1），

∴Tn．

∴Tn的取值范圍為[，）．