Question

【題目】已知橢圓左右焦點分別為，，

若橢圓上的點到，的距離之和為，求橢圓的方程和焦點的坐標；

若、是關于對稱的兩點，是上任意一點，直線，的斜率都存在，記為，，求證：與之積為定值．

Answer 1

【答案】，焦點，；證明見解析.

【解析】

先根據點到到，的距離之和求得，再把點代入橢圓方程求得，則可得，進而求得橢圓的方程和焦點坐標；

設點的坐標為，根據點的對稱性求得的坐標，代入橢圓方程設出點的坐標，利用斜率公式分別表示出和的斜率，求得二者乘積的表達式，把式子代入結果為常數，原式得證.

解：橢圓的焦點在軸上，由橢圓上點到到，的距離之和為，

得，即.

點在橢圓上，

，得，則.

橢圓的方程為，焦點為，.

設點，則點，其中.

設點，由，，

可得，

將和代入，

得.

故與之積為定值.