Question

【題目】已知函數是奇函數．

（1）求的值；

（2）判斷并證明函數的單調性；

（3）若對任意的，不等式恒成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）增函數，證明見解析；（3）.

【解析】

（1）由奇函數的定義，化簡變形得出對任意的恒成立，由此可求出實數的值；

（2）任取，作差，因式分解后判斷的符號，得出和的大小關系，即可證明出函數的單調性；

（3）由得出，利用函數的單調性得出，則對恒成立，求出函數在區間上的最小值，即可得出實數的取值范圍.

（1）函數是奇函數，又，

，即，

整理得，即對任意的恒成立，

，解得；

（2）是上的增函數，理由如下：

在上任取，

，

.

是上的增函數；

（3），且函數是奇函數，

所以，

函數是上的增函數，，

對恒成立， ，，

因此，實數的取值范圍是.