Question

求曲線C：xy=1在矩陣A=

2 2 2 2 - 2 2 2 2

對應的變換下得到的曲線C′的方程．

Answer 1

分析：設P（x₀，y₀）為曲線xy=1上的任意一點，在矩陣A變換下得到另一點P'（x'₀，y'₀），根據法則

.

a b c d

.

.

e f g h

.

=

.

ae+bg af+bh ce+dg cf+dh

.

計算A

x0 y0

=

x′0 y′0

得到P與P′橫縱坐標之間的關系，分別用x'₀和y'₀表示出x₀和y₀，代入曲線方程即可得到變換后曲線的方程．

解答：解：設P（x₀，y₀）為曲線xy=1上的任意一點，在矩陣A變換下得到另一點P'（x'₀，y'₀），
則有

x′0 y′0

=

2 2 2 2 - 2 2 2 2

x0 y0

，即

x′0= 2 2 (x0+y0) y′0= 2 2 (y0-x0)

，所以

x0= 2 2 (x′0-y′0) y0= 2 2 (x′0+y′0)

又因為點P在曲線xy=1上，所以x₀y₀=1，
故有x'₀²-y'₀²=2，即所得曲線方程：x²-y²=2．

點評：考查學生掌握二階矩陣的乘法法則，會求曲線關于矩陣變換后的曲線方程．