Question

[選做題]在A、B、C、D四小題中只能選做2題，每小題10分，計20分．請把答案寫在答題紙的指定區(qū)域內(nèi)．
A．（選修4-1：幾何證明選講）
過圓O外一點P分別作圓的切線和割線交圓于A，B，且PB=7，∠ABP=∠ABC，C是圓上一點使得BC=5，求線段AB的長．
B．（選修4-2：矩陣與變換）
求曲線C：xy=1在矩陣對應(yīng)的變換作用下得到的曲線C′的方程．
C．（選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程）
已知曲線C₁：（θ為參數(shù)）和曲線C₂：ρsin（θ-）=．
（1）將兩曲線方程分別化成普通方程；
（2）求兩曲線的交點坐標(biāo)．
D．（選修4-5：不等式選講）
已知|x-a|＜，|y-b|＜，求證：|2x-3y-2a+3b|＜c．

Answer 1

【答案】分析：A：根據(jù)同弧所對的圓周角與弦切角相等，得到∠C=∠BAP，根據(jù)所給的兩個角相等，得到兩個三角形相似，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例，得到比例式，代入已知的長度，求出結(jié)果．
B：設(shè)P（x，y）為曲線xy=1上的任意一點，在矩陣A變換下得到另一點P'（x'，y'），根據(jù)法則 = ，求出即 x=（+），
y=（ - ）．再由x•y=1 可得  -=2，從而得到曲線C′的方程．
C：把參數(shù)方程化為普通方程，把極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，聯(lián)立方程組求得求兩曲線的交點坐標(biāo)．
D：由題意可得|2x-2a|＜，|3y-3b|＜，故|2x-2a|+|3y-3b|＜c．再根據(jù)絕對值不等式的性質(zhì)可得|2x-3y-2a+3b|≤|2x-2a|+|3y-3b|，從而證得不等式．
解答：解：A：∵∠BAC=∠APB，∠C=∠BAP，∴△PAB∽△ACB，∴  AB²=PB•BC=7×5=35，∴AB=．
B：設(shè)P（x，y）為曲線xy=1上的任意一點，在矩陣A變換下得到另一點P'（x'，y'），
則有 = ，∴x′=（x-y），y′=（x+y），
即 x=（x′+y′），y=（ y′-x′ ）．
再由x•y=1可得 -=2，故的曲線C′的方程為y²-x²=1．
C：（1）把曲線C₁：（θ為參數(shù)），利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系化為普通方程為 +=1． 
把曲線C₂：ρsin（θ-）= 即 ρsinθ-cosθ=，化為直角坐標(biāo)為 x-y+2=0．
（2）由  解得 ，或 ，故兩曲線的交點坐標(biāo)為（0，2）或（-，）．
D：∵已知|x-a|＜，|y-b|＜，∴|2x-2a|＜，|3y-3b|＜，∴|2x-2a|+|3y-3b|＜c．
再由|2x-3y-2a+3b|=|（2x-2a）-（3y-3b）|≤|2x-2a|+|3y-3b|，
可得|2x-3y-2a+3b|＜c．
點評：本題可選圓的切線的性質(zhì)的應(yīng)用，考查同弧所對的圓周角等于弦切角，考查三角形相似的判斷和性質(zhì)．求曲線關(guān)于矩陣變換后的曲線方程．把參數(shù)方程化為普通方程的方法，把極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程的方法，求兩曲線的交點坐標(biāo)．絕對值不等式的性質(zhì)應(yīng)用，屬于中檔題．