Question

過P（1，0）做曲線C：xy=1，x∈（0，+∞），的切線，切點為Q₁，設(shè)Q₁在x軸上的投影為P₁，又過P₁做曲線C的切線，切點為Q₂，設(shè)Q₂在x軸上的投影為P₂，…，依次下去得到一系列點Q₁、Q₂、Q₃、…、Q_n的橫坐標(biāo)為a_n．
（1）求a₁的值．
（2）求證數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列．
（3）設(shè)bn=

16an+13

16an-3

，問是否存在實數(shù)m，使得對于任意的正整數(shù)M，N，都有|b_M-b_N|＜m恒成立．若存在，求出m；不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由題意可設(shè)切點Q_n（a_n，a_n^k），根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求切線方程，當(dāng)n=1時由切線過點P（1，0）可求a₁
（2）由切線過點P_n-1（a_n-1，0），代入整理可得

an

an-1

=

1

2

，可證
（3）由bn=

16an+13

16an-3

=1+

1

an- 3 16

，構(gòu)造函數(shù)y=1+

1

t- 3 16

，t=(

1

2

)x，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可求數(shù)列{b_n}的最大項與最小項，而|b_M-b_N|＜|b_{n（最大值）}-b_{n（最小值）}|，可求m

解答：解：（1）y'=-x^-2，若切點是Q_n（a_n，a_n^k），
則切線方程為y-a_n^-1=-a_n^-2（x-a_n）．
當(dāng)n=1時，切線過點P（1，0）
即0-a₁^-1=-a₁^-2（1-a₁）．得a1=

1

2

．
（2）當(dāng)n＞1時，切線過點P_n-1（a_n-1，0）
即0-a_n^-1=-a_n^-2（a_n-1-a_n）．得

an

an-1

=

1

2

．
∴數(shù)列{a_n}是首項為

1

2

，公比為

1

2

的等比數(shù)列．
∴an=(

1

2

)n．…（6分）
（3）bn=

16an+13

16an-3

=1+

1

an- 3 16

令y=1+

1

t- 3 16

，t=(

1

2

)x（8分）
由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知
當(dāng)0＜x＜log

1

2

3

16

時，y＜0．且單調(diào)遞增．
當(dāng)x＞log

1

2

3

16

時，y＞0．且單調(diào)遞增．
所以當(dāng)an=

4

16

，即n=2，時，b₂=17為最大值
當(dāng)an=

2

16

，即n=3，時，b₃=-15為最小值            （13分）
|b_M-b_N|＜|b₃-b₂|=32
所以m＞32                               …（15分）

點評：本題主要考查了利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求解曲線在某點的切線方程，等比數(shù)列通項公式的求解及利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判斷數(shù)列的單調(diào)性進(jìn)而求解數(shù)列的最大項及最小項，屬于函數(shù)與數(shù)列知識的綜合應(yīng)用．