Question

已知圓x²+y²=8內一點P₀（-1，2），AB為過點P₀且傾斜角為α的弦．
（1）當α=135°時，求AB的長．
（2）當 弦AB最長時，求出直線AB的方程．
（3）當弦AB被點P₀平分時，求出直線AB的方程．

Answer 1

分析：（1）根據直線的傾斜角算出直線的斜率為-1，結合直線AB過P₀（-1，2）寫出直線AB的方程，再利用點到直線的距離公式與垂徑定理加以計算，即可得到弦AB的長；
（2）圓的最長的弦為直徑，由此算出直線OP₀的方程，即得直線AB的方程為2x+y=0；
（3）由P₀為弦AB的中點，可得OP₀⊥AB，因此利用直線的斜率公式算出直線AB的斜率為

1

2

，利用直線方程的點斜式列式，化簡即可得到直線AB的方程x-2y+5=0．

解答：解：（1）∵直線AB的傾斜角為α，∴直線AB的斜率k=tan135°=-1，
因此，直線AB的方程為y-2=-（x+1），即x+y-1=0
∵圓心O（0，0）到直線AB的距離d=

|-1|

1+1

=

2

2

∴弦長|AB|=2

r2-d2

=2

8- 1 2

=

30

．
（2）∵圓的最長的弦為直徑，即經過圓心的弦，
∴弦AB最長時，直線AB就是以OP₀確定的直線，
其方程y=-2x，可得直線AB的方程為2x+y=0；
（3）∵P₀為弦AB的中點，OA=OB，∴OP₀⊥AB
又∵OP₀的斜率kOP0=

2-0

-1-0

=-2，
∴直線AB的斜率為：k_AB=

-1

kOP0

=

1

2

，
∴直線AB的方程為y-2=

1

2

（x+1），化簡得x-2y+5=0．

點評：本題著重考查了圓的標準方程、直線的基本量與基本形式、直線與圓的位置關系和點到直線的距離公式等知識，屬于中檔題．