Question

【題目】已知函數恰有兩個極值點.

(1)求實數的取值范圍；

(2)求證：；

(3)求證： （其中為自然對數的底數）.

Answer 1

【答案】(1)；(2)證明見解析；(3)證明見解析.

【解析】

（1）求出函數的導數，得到，設，求出函數的導數，根據函數的單調性確定的范圍即可；

（2）求出，問題轉化為只要證明，設，，根據函數的單調性證明即可；

（3）求出，問題轉化為只需證明，根據，設，根據函數的單調性證明即可．

(1)由題意得，故，

設，，

故時，時，，

故在遞增，在遞減，

又，

當時， ，

故實數的范圍是；

(2)由(1)得，且，故，

要證明，只要證明，

只要證明，

設，

則，

故在遞增，

故，

故成立；

(3)由(1)得，

且，故，

由(1)得，要證明，

只需證明，

只需證明，

故

，

設，

則，

故在遞增，

結合，故，

，有，

故，

故.