Question

【題目】已知兩點及，點在以、為焦點的橢圓上，且、、構(gòu)成等差數(shù)列．

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）設(shè)是過原點的直線，是與n垂直相交于點，與橢圓相交于兩點的直線，，是否存在上述直線使成立？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1)；(2)答案見解析.

【解析】試題分析：（Ⅰ）由構(gòu)成等差數(shù)列可得， ，．又，，從而可得結(jié)果；（Ⅱ）先證明當(dāng)與軸垂直時，不合題意，當(dāng)與x軸不垂直時，設(shè)的方程為，由與垂直相交于 點且，得，利用韋達(dá)定理以及平面向量數(shù)量積公式，可得，矛盾，故此時的直線也不存在．

.試題解析：（Ⅰ）依題意，設(shè)橢圓的方程為．

構(gòu)成等差數(shù)列，

，．

又，．

橢圓的方程為.

（Ⅱ）設(shè)兩點的坐標(biāo)分別為,，

假設(shè)存在直線使成立，

(ⅰ)當(dāng)與軸垂直時，滿足的直線的方程為或

當(dāng)時，的坐標(biāo)分別為，,．

∴

當(dāng)時，同理可得，

即此時的直線不存在．

(ⅱ)當(dāng)與軸不垂直時，設(shè)的方程為，

由與垂直相交于點且，得.

因為，，

,.

將代入橢圓方程，得

由根與系數(shù)的關(guān)系得：　，

即，矛盾，故此時的直線也不存在．

綜上可知，使成立的直線不存在．