Question

【題目】大自然是非常奇妙的，比如蜜蜂建造的蜂房.蜂房的結構如圖所示，開口為正六邊形ABCDEF，側棱AA'、BB'、CC'、DD'、EE'、FF'相互平行且與平面ABCDEF垂直，蜂房底部由三個全等的菱形構成.瑞士數學家克尼格利用微積分的方法證明了蜂房的這種結構是在相同容積下所用材料最省的，因此，有人說蜜蜂比人類更明白如何用數學方法設計自己的家園.英國數學家麥克勞林通過計算得到∠B′C′D′＝109°28′16'.已知一個房中BB'＝5，AB＝2，tan54°44′08'，則此蜂房的表面積是_____.

Answer 1

【答案】216

【解析】

表面積分兩部分來求，一是底面，是三個全等的菱形，連接BD，B′D′，易得BD∥B′D′，BD＝B′D′＝6，再根據∠B′C′D′＝109°28′16'，tan54°44′08'，得到OC′，B′C′，可計算菱形的面積，二是側面，是六個全等的直角梯形，由B′C′，結合BB′，BC，得到CC′，求得梯形的面積，然后兩部分相加即可.

如圖所示：

連接BD，B′D′，則由題意BD∥B′D′，BD＝B′D′＝6，

∵四邊形OB′C′D′為菱形，∠B′C′D′＝109°28′16'，tan54°44′08'，

∴OC′＝226，B′C′＝3，

∴CC′＝BB′4，

∴S梯形BB′CC′27，

∴S表面積＝63216.

故答案為：216.