Question

【題目】在圓上任取一點，過點向軸作垂線段，垂足為，當點在圓上運動時，線段的中點的軌跡為.

(1)求曲線的方程；

(2)過點(0，－2)作直線與交于兩點，(O為原點)，求三角形面積的最大值，并求此時的直線的方程．

Answer 1

【答案】（1） （2）最大面積為1，方程為

【解析】

(1)利用代入法求曲線的方程.(2)先求出三角形面積的解析式和k的范圍，再求其最大值和此時直線的方程.

（1）設M(x，y)是曲線C上任一點，

因為PQ⊥x軸，M是PQ的中點，所以點P的坐標為(x，2y)．

因為點P在圓x2＋y2＝4上，所以x2＋(2y)2＝4.

所以曲線C的方程是＋y2＝1.

(2當直線l的斜率不存在時顯然不符合題意；

當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y＝kx－2，與橢圓交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，

由得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0，

由Δ＝162k2－48(1＋4k2)>0，得k2>.

所以x1＋x2＝，x1x2＝.

因為S△OAB＝|OD||x1－x2|＝|x1－x2|＝

＝4.令4k2－3＝t，則4k2＝t＋3(由上可知t>0)，

SOANB＝4＝4,

當且僅當t＝4，即k2＝時取等號；

所以當k＝±時三角形OAB面積的最大值為1，

此時直線l的方程為y＝±x－2.