Question

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）=﹣ sinx cosx+1 （Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）若x∈[0， ]，且f（x）= ，求cosx的值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=﹣ sinx cosx+1=﹣sin（x+ ）+1，故該函數(shù)的最小正周期為2π， 令2kπ+ ≤x+ ≤2kπ+ ，求得2kπ+ ≤x≤2kπ+ ，可得函數(shù)的增區(qū)間為[2kπ+ ，2kπ+ ]，k∈Z．
（Ⅱ）若x∈[0， ]，則x+ ∈[ ， ]，又f（x）= ，即﹣sin（x+ ）+1= ，即sin（x+ ）= ，
∴cos（x+ ）=± =± ．
若cos（x+ ）=﹣ ，則cosx=cos[（x+ ）﹣ ]=cos（x+ ） cos +sin（x+ ） sin =﹣ + = ＜0，不合題意，舍去．
若cos（x+ ）= ，則cosx=cos[（x+ ）﹣ ]=cos（x+ ） cos +sin（x+ ） sin = + = ．
綜上可得，cosx= ．
【解析】（Ⅰ）利用兩角和的正弦公式化簡函數(shù)f（x）的解析式，再利用正弦函數(shù)的周期性和單調(diào)性，求得函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間．（Ⅱ）若x∈[0， ]，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、兩角差的余弦公式，求得cosx的值．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案，需要掌握正弦函數(shù)的單調(diào)性：在上是增函數(shù)；在上是減函數(shù)．