Question

【題目】已知數列中， .

（1）求證：數列是等比數列；

（2）若是數列的前項和，求滿足的所有正整數.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）1和2．

【解析】試題分析：（1）要證明數列是等比數列，只需根據等比數列的定義，為此設，因此證明為常數即可；（2）首先要求的通項，由（1）可得出，即，則遞推式可得，由于通項要分類，因此求數列的和時，我們也分類講解， ，

，這是遞減的，計算發現，又，同理可得，即滿足題意的只有1和2兩個數．

試題解析：（Ⅰ）設，

因為

==,

所以數列是以即為首項，以為公比的等比數列． 5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，即，

由，得，

所以，

．10分

顯然當時， 單調遞減，

又當時， ＞0，當時， ＜0，所以當時， ＜0；

，

同理，當且僅當時， ＞0，

綜上，滿足的所有正整數為1和2． 13分