【題目】如圖，四棱錐
的底面
是邊長為2的菱形，平面
平面，
，
，
分別是棱
，
的中點.
（1）求證：
平面
；
（2）若
，求
與平面所成角的正弦值.
【答案】（1）證明見解析；（2）
.
【解析】
（1）連接
，交
于點
，可證明
，
.從而有
平面
.
同理，
平面.得面面平行后可得線面平行；
（2）以
，
，
所在直線為
，
，
軸建立空間直角坐標系，寫出各點坐標，求出平面的一個法向量，由空間向量法求得線面角的正弦值．
（1）連接，交于點，連接
，
.
由四邊形
是菱形知是、中點.
因為
，
分別是棱
，
的中點，所以，.
又因為
平面，
平面，所以平面.
同理，平面.
因為
，所以平面
平面，
因為
平面
，所以
平面.
（2）因為
，
，是中點，所以
，
，
因為平面
平面，兩平面的交線為，所以
平面，
因為是菱形，邊長為2，所以
，
，
，分別以，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標系，如圖，
則
，
，
，
，
，
，
，
，
設平面的一個法向量為
，則
所以
，取
，則
，
所以
，
所以直線
與平面所成角的正弦值為.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某商場推出消費抽現金活動，顧客消費滿1000元可以參與一次抽獎，該活動設置了一等獎、二等獎、三等獎以及參與獎，獎金分別為：一等獎200元、二等獎100元、三等獎50元、參與獎20元，具體獲獎人數比例分配如圖，則下列說法中錯誤的是（ ）
A.獲得參與獎的人數最多
B.各個獎項中一等獎的總金額最高
C.二等獎獲獎人數是一等獎獲獎人數的兩倍
D.獎金平均數為
元
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某地區城鄉居民儲蓄存款年底余額（單位：億元）如圖所示，下列判斷一定不正確的是（ ）
A.城鄉居民儲蓄存款年底余額逐年增長
B.農村居民的存款年底余額所占比重逐年上升
C.到2019年農村居民存款年底總余額已超過了城鎮居民存款年底總余額
D.城鎮居民存款年底余額所占的比重逐年下降
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】中國有四大國粹：京劇、武術、中醫和書法.某大學開設這四門課供學生選修，男生甲選其中三門課進行學習，已知他選修了京劇，則他選修書法的概率為( )
A.
B.
C.
D.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在棱長為12的正方體
中，已知E，F分別為棱AB，
的中點，若過點
，E，F的平面截正方體所得的截面為一個多邊形，則該多邊形的周長為________，該多邊形與平面
，ABCD的交線所成角的余弦值為________．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某中學有教師400人，其中高中教師240人．為了了解該校教師每天課外鍛煉時間，現利用分層抽樣的方法從該校教師中隨機抽取了100名教師進行調查，統計其每天課外鍛煉時間（所有教師每天課外鍛煉時間均在
分鐘內），將統計數據按
，
，
，…，
分成6組，制成頻率分布直方圖如下：假設每位教師每天課外鍛煉時間相互獨立，并稱每天鍛煉時間小于20分鐘為缺乏鍛煉．
（1）試估計本校教師中缺乏鍛煉的人數；
（2）從全市高中教師中隨機抽取3人，若
表示每天課外鍛煉時間少于10分鐘的人數，以這60名高中教師每天課外鍛煉時間的頻率代替每名高中教師每天課外鍛煉時間發生的概率，求隨機變量的分布列與數學期望．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】角谷猜想，也叫
猜想，是由日本數學家角谷靜夫發現的，是指對于每一個正整數，如果它是奇數，則對它乘3再加1；如果它是偶數，則對它除以2，如此循環最終都能夠得到1．如：取
，根據上述過程，得出6，3，10，5，16，8，4，2，1，共9個數．若
，根據上述過程得出的整數中，隨機選取兩個不同的數，則這兩個數都是偶數的概率為（ ）
A.
B.
C.
D.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系
中，已知圓
的參數方程為
（
為參數），與圓關于直線
對稱的圓為
．以原點
為極點，
軸的正半軸為極軸，取相同的長度單位建立極坐標系，直線
的極坐標方程是
．
（1）設直線與軸和
軸的交點分別為
，
，
為圓上的任意一點，求
的最大值．
（2）過點
且與直線平行的直線
交圓于
，
兩點，求
的值．
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