Question

【題目】已知是數(shù)列的前項(xiàng)和，對(duì)任意，都有；

（1）若，求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求此時(shí)數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）若，求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求此時(shí)數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（3）設(shè)，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析，；（2）；（3）.

【解析】

（1）將代入，得，令，求出，然后令，由得出，兩式作差可得出數(shù)列的遞推公式，然后利用定義證明出數(shù)列是等差數(shù)列，確定該數(shù)列的首項(xiàng)，即可求出；

（2）令求出，然后令，由得出，兩式相減得出數(shù)列的遞推公式，然后利用定義證明出數(shù)列為等比數(shù)列，確定該數(shù)列的首項(xiàng)和公比，即可求出；

（3）結(jié)合（1）（2）中的結(jié)論，討論、、、、，結(jié)合條件，利用數(shù)列的單調(diào)性，即可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.

（1）將代入，得，即.

當(dāng)時(shí)，則有，得；

當(dāng)時(shí)， 由得出，

上述兩式相減得，

整理得，等式兩邊同時(shí)除以得，即，

所以，數(shù)列是以首項(xiàng)為為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，

則，因此，；

（2）對(duì)任意，都有.

當(dāng)時(shí)，，解得；

當(dāng)時(shí)，由得出，

兩式相減得，

化簡(jiǎn)得，

，

所以，數(shù)列是以為公比，以為首項(xiàng)的等比數(shù)列，則，因此，；

（3），且.

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，不滿足條件；

則，可得，

可得，

顯然時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞增，不滿足條件，.

當(dāng)時(shí)，則有顯然成立；

當(dāng)時(shí)，若，則數(shù)列的最大項(xiàng)為，

，即恒成立；

當(dāng)時(shí)，數(shù)列的最大項(xiàng)為，

則滿足條件；

當(dāng)時(shí)，，數(shù)列的最大項(xiàng)為，不滿足條件；

綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.