Question

（12分）已知拋物線的焦點為，準線為，過上一點P作拋物線的兩切線，切點分別為A、B，
（1）求證：；
（2）求證：A、F、B三點共線；
（3）求的值．

Answer 1

（3）

解析試題分析：（1）準線為y=-1,F(0,1),設P(n,-1),,
因為,所以，
所以,即,
,即,
所以a,b是方程,
所以,
所以.
(2)由（1）知a+b=2n,,
所以直線AB的方程為即
因為a+b=2n,ab=-4,所以直線AB的方程為,
所以恒過點F（0，1）.
(3)
,
因為,所以,
所以為常數.
考點：直線與拋物線的相切，直線的斜率，導數的幾何意義，向量的數量積.
點評：根據導數的幾何意義，分別求出切點A，B處的導數即A,B的斜率，然后證明斜率之積為-1，來證明兩條切線垂直.證明A，B，F三點共線，關鍵是利用第（1）問的結果，求出AB的點方程，證明點F的坐標滿足此方程即可.第（3）問分別求出和都用n表示，從而證明其為定值.