Question

【題目】已知函數(shù)， .

（1）求在區(qū)間（）上的最小值；

（2）當時，討論方程實數(shù)根的個數(shù).

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析.

【解析】試題分析：（1）對函數(shù)進行求導，分為和兩種情形討論在區(qū)間上的單調(diào)性，故而得其最小值；（2）題意等價于零點的個數(shù)，對求導，利用導數(shù)得到函數(shù)的單調(diào)性，得到其大致形狀，進而得零點個數(shù).

試題解析：（1），當時， ， 單減；當時， ， 單增；于是，當時， 在單減， 單增， ；當時， 在單增， ； 因此.

（2）令，于是討論方程實數(shù)根的個數(shù)，相當于討論函數(shù)零點的個數(shù).于是，①當時， ，函數(shù)為減函數(shù)；注意到，所以有唯一零點. ②當時，當時， 時，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，注意到，結(jié)合的大致圖像知，此時也有唯一零點.綜上，函數(shù)在有唯一零點.即方程有唯一實數(shù)根.