Question

已知數列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=

an

an+3

（n∈N^*）
（1）求a₂，a₃；
（2）求證：{

1

an

+

1

2

}是等比數列，并求{a_n}的通項公式a_n；
（3）數列{b_n}滿足b_n=（3ⁿ-1）•

n

2n

•a_n，數列{b_n}的前n項和為T_n，若不等式（-1）ⁿλ＜T_n+

n

2n-1

對一切n∈N^*恒成立，求λ的取值范圍．

Answer 1

考點：數列與不等式的綜合,等比關系的確定

專題：綜合題,等差數列與等比數列

分析：（1）利用a₁=1，a_n+1=

an

an+3

，可求a₂，a₃；
（2）把題目給出的數列遞推式取倒數，即可證明數列{

1

an

+

1

2

}是等比數列，由等比數列的通項公式求得

1

an

+

1

2

，則數列{a_n}的通項a_n的通項可求；
（3）把數列{a_n}的通項a_n代入b_n=（3ⁿ-1）•

n

2n

•a_n，由錯位相減法求得數列{b_n}的前n項和為T_n，對n分類，則答案可求．

解答： 解：（1）a2=

1

4

，a3=

1

13

…（2分）
（2）由an+1=

an

an+3

得

1

an+1

=

an+3

an

=1+

3

an

即

1

an+1

+

1

2

=3(

1

an

+

1

2

)…（4分）
又

1

a1

+

1

2

=

3

2

所以{

1

an

+

1

2

}是以

3

2

為首項，3為公比的等比數列．…（6分）
所以

1

an

+

1

2

=

3

2

×3n-1=

3n

2

即an=

2

3n-1

…（8分）
（3）bn=

n

2n-1

…（9分）
Tn=1×

1

20

+2×

1

21

+3×

1

22

+…+(n-1)×

1

2n-2

+n×

1

2n-1

Tn

2

=1×

1

21

+2×

1

22

+…+(n-1)×

1

2n-1

+n×

1

2n

兩式相減得

Tn

2

=

1

20

+

1

21

+

1

22

+…+

1

2n-1

-n×

1

2n

=2-

n+2

2n

，
∴Tn=4-

n+2

2n-1

…（11分）
∴(-1)nλ＜4-

2

2n-1

若n為偶數，則λ＜4-

2

2n-1

∴λ＜3
若n為奇數，則-λ＜4-

2

2n-1

∴-λ＜2∴λ＞-2，
∴-2＜λ＜3…（14分）

點評：本題考查數列遞推式，考查了等比關系的確定，訓練了錯位相減法求數列的前n項和，考查了利用分類討論的數學思想方法求解數列不等式，是中檔題．