Question

【題目】設(shè)等差數(shù)列的公差d大于0，前n項(xiàng)的和為．已知＝18，，，成等比數(shù)列．

（1）求的通項(xiàng)公式；

（2）若對(duì)任意的，都有k(＋18)≥恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；

（3）設(shè)()．若s，t，s＞t＞1，且，求s，t的值．

Answer 1

【答案】（2）；（2）；（3）

【解析】

（1）結(jié)合等比中項(xiàng)的性質(zhì)列方程，將已知條件轉(zhuǎn)化為的形式列方程組，解方程組求得，由此求得的通項(xiàng)公式.

（2）由（1）求得，將不等式分離常數(shù)，利用換元法，結(jié)合基本不等式，求得的取值范圍.

（3）求得的表達(dá)式，利用判斷出數(shù)列的項(xiàng)的大小關(guān)系，由此確定的值.

（1）由于成等比數(shù)列，所以，依題意有，由于，故方程組解得，所以.即的通項(xiàng)公式為.

（2）由（1）得，由于對(duì)任意的，都有恒成立，所以對(duì)任意的恒成立.

設(shè)，令，則.因?yàn)?/span>，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的最大值為，即的最大值為，此時(shí)，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.

（3）由條件，，則，所以.因?yàn)?/span>，所以.即符合條件的的值分別為.