Question

【題目】給定數列，對，該數列前項的最大值記為，后項的最小值記為，.

（1）設數列為3，4，7，5，2，寫出，，，的值；

（2）設是，公比的等比數列，證明：成等比數列；

（3）設，證明：的充分必要條件為是公差為的等差數列.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析

【解析】

（1）可根據題意來逐步代入計算；（2）根據a1＞0，公比q＞1，可判斷出數列{an}是一個單調遞增的等比數列，則可逐步代入Ai與Bi的值進行計算，再證明出d1，d2，d3，…dn﹣1成等比數列．（3）先證充分性：因為m>0可得單增，則，可得；再證必要性，先利用反證法說明數列中不存在使，則可說明，，則得，從而證得結論.

（1）由題意，可知：

①當i＝1時，A1＝3，B1＝2，d1＝A1﹣B1＝3﹣2＝1；

②當i＝2時，A2＝4，B2＝2，d2＝A2﹣B2＝4﹣2＝2；

③當i＝3時，A3＝7，B3＝2，d3＝A3﹣B3＝7﹣2＝5；

④當i＝4時，A4＝7，B4＝2，d4＝A4﹣B4＝7﹣2＝5．

（2）由題意，可知：

∵a1＞0，公比q＞1，

∴數列{an}是一個單調遞增的等比數列．

∴①當i＝1時，A1＝a1，B1＝a2，d1＝A1﹣B1＝a1﹣a2＝a1（1﹣q）；

②當i＝2時，A2＝a2，B2＝a3，d2＝A2﹣B2＝a2﹣a3＝a1（1﹣q）q；

③當i＝3時，A3＝a3，B3＝a4，d3＝A3﹣B3＝a3﹣a4＝a1（1﹣q）q2；

…

∴對，

.

因此且 ，

∴為首項為a1（1﹣q），公比為q的等比數列．

（3）充分性：若是公差為的等差數列，則，

因為，，，

，.

必要性：若，．

假設是第一個使的項，

則，這與相矛盾，故∴ ，即，故是公差為的等差數列．