【題目】對于無窮數列
的某一項
，若存在
，有
成立，則稱具有性質
.
（1）設
，若對任意的
，都具有性質，求
的最小值；
（2）設等差數列的首項
，公差為
，前
項和為
，若對任意的數列
中的項
都具有性質
，求實數的取值范圍；
（3）設數列的首項
，當
時，存在
滿足
，且此數列中恰有一項
不具有性質
，求此數列的前
項和的最大值和最小值以及取得最值時對應的
的值.
【答案】（1）
；（2）
；（3）
時，最大值為
；
或
時，最小值為
.
【解析】
（1）計算得出
、
、
，求得每種情況下對應
的最小值，進而可得出結果；
（2）求得
，根據題意得出
對任意的
恒成立，可得出
，由此可得出
的取值范圍；
（3）根據題意得出
，根據存在
滿足
，得出
、
、
、
依次為：
、
、
、、
，進一步得知：欲使此數列的前
項和最大，
、
、、
依次為：、
、、
，欲使此數列的前項和最小，、、、依次為：、、、
，分別計算出兩種情況下數列
的前項和，根據表達式可求得前項和分別取最大值或最小值時對應的
值.
（1）經計算知：，此時
；，此時
；
當
時，
，此時
.
綜上可知，，即對任意的
，
都具有性質
時，的最小值為；
（2）由已知可得，
，若對任意的，數列
中的
都具有性質
，則對任意的恒成立，
即
，整理得：.
因為
，則
，所以
.
因此，實數的取值范圍是；
（3）對于
，
，
因為、、、
都具有性質
，所以，
而當
時，存在滿足，
所以、、、依次為：、、、、，
由已知不具有性質，故的可能值為、、、，
又因為、、、都具有性質，所以
，
欲使此數列的前項和最大，、、、依次為：、、、，
欲使此數列的前項和最小，、、、依次為：、、、，
下面分別計算前項和：
，
當時，此數列的前項和最大，最大值為
；
.
當且僅當
時，即
時等號成立，但
，
這時取或時，此數列的前項和最小，最小值為
.
計算高手系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】《周髀算經》有這樣一個問題：從冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種十二個節氣日影長減等寸，雨水、驚蟄、春分、清明日影之和為三丈二尺，前七個節氣日影之和為七丈三尺五寸，問立夏日影長為（ ）
A.七尺五寸B.六尺五寸C.五尺五寸D.四尺五寸
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
：
，
、
分別為橢圓長軸的左、右端點，
為直線
上異于點的任意一點，連接
交橢圓于
點.
（1）若
，求直線的方程；
（2）是否存在
軸上的定點
使得以
為直徑的圓恒過
與
的交點？如果存在，請求出定點的坐標；如果不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知點
，點
是圓
：
上任意一點，線段
的垂直平分線交
于點
，點的軌跡記為曲線
．
（1）求曲線的方程；
（2）過的直線交曲線于不同的
，
兩點，交
軸于點
，已知
，
，求
的值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，四棱錐
中，平面
底面
，
是等邊三角形，底面是菱形，且
，
為棱
的中點，
為菱形的中心，下列結論正確的有（ ）
A.直線
與平面
平行B.直線與直線
垂直
C.線段
與線段
長度相等D.與所成角的余弦值為
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系xOy中，曲線C1的參數方程為
（φ為參數）．以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為
，曲線C1和C2在第一象限交于點A．
（1）求點A的直角坐標；
（2）直線
與曲線C1，C2在第一象限分別交于點B，C，若△ABC的面積為
，求α的值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知直線
的參數方程為
（
為參數），以坐標原點為極點，
軸正半軸極軸，建立極坐標系，曲線
的極坐標方程是
．
（1）寫出直線的極坐標方程與曲線的直角坐標方程；
（2）若點
是曲線上的動點，求到直線距離的最小值，并求出此時點的坐標．
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