Question

已知雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的漸近線方程為：y=±

3

x，右頂點為（1，0）．
（Ⅰ）求雙曲線C的方程；
（Ⅱ）已知直線y=x+m與雙曲線C交于不同的兩點A、B，且線段AB的中點為M（x₀，y₀）．當x₀≠0時，求

y0

x0

的值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系,雙曲線的標準方程

專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（Ⅰ）由雙曲線的漸近線方程為：y=±

b

a

x，得到

b

a

=

3

，又a=1，即可得到雙曲線的方程；
（Ⅱ）聯立直線方程和雙曲線方程，消去y，得到x的方程，再由判別式大于0，運用韋達定理，以及中點坐標公式，得到中點的橫坐標，再由直線方程得到縱坐標，進而得到答案．

解答： 解：（Ⅰ）雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的漸近線方程為：y=±

b

a

x，
則由題意得，

b

a

=

3

，a=1，解得b=

3

，
則雙曲線的方程為：x²-

y2

3

=1；
（Ⅱ）聯立直線方程和雙曲線方程，得到，

y=x+m x2- y2 3 =1

，消去y，得2x²-2mx-m²-3=0，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則判別式△=4m²+8（m²+3）＞0，x₁+x₂=m，
中點M的x₀=

m

2

，y₀=x₀+m=

3

2

m，
則有

y0

x0

=3．

點評：本題考查雙曲線的方程和性質及運用，考查聯立直線方程和雙曲線方程，消去未知數，運用韋達定理及中點坐標公式解題，考查運算能力，屬于中檔題．