Question

【題目】已知函數f（x）=（a+1）lnx+ x2（a＜﹣1）對任意的x1、x2＞0，恒有|f（x1）﹣f（x2）|≥4|x1﹣x2|，則a的取值范圍為 ．

Answer 1

【答案】（﹣∞，﹣2]
【解析】解：由f′（x）= + x，
得f′（1）=3a+1，
所以f（x）=（a+1）lnx+ax2 ， （a＜﹣1）在（0，+∞）單調遞減，不妨設0＜x1＜x2 ，
則f（x1）﹣f（x2）≥4x2﹣4x1 ， 即f（x1）+4x1≥f（x2）+4x2 ，
令F（x）=f（x）+4x，F′（x）=f′（x）+4= +2ax+4，
等價于F（x）在（0，+∞）上單調遞減，
故F'（x）≤0恒成立，即 +2ax+4≤0，
所以 恒成立，
得a≤﹣2．
所以答案是：（﹣∞，﹣2]．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用利用導數研究函數的單調性的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減．