Question

已知f（x）=m^x（m為常數，m＞0且m≠1）．設f（a₁），f（a₂），…f（a_n）…（n∈N^*?）是首項為m²，公比為m的等比數列．
（1）求證：數列{a_n}是等差數列；
（2）若b_n=a_n•f（a_n），且數列{b_n}的前n項和為S_n，當m=2時，求S_n；
（3）若c_n=f（a_n）•lgf（a_n），問是否存在m，使得數列{c_n}中每一項恒小于它后面的項？若存在，求出m的范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據等比數列的通項公式，可得f（a_n）=m²•m^n-1=mⁿ⁺¹，從而可得a_n=n+1，進而可證數列{a_n}是以2為首項，1為公差的等差數列；
（2）當m=2時，b_n=（n+1）•2ⁿ⁺¹，利用錯位相減法可求數列的和；
（3）求出數列{c_n}的通項，要使c_n＜c_n+1對一切n∈N^*成立，即（n+1）•mⁿ⁺¹•lgm＜（n+2）•mⁿ⁺²•lgm，對一切n∈N^*成立，對m進行分類討論，即可求得m的取值范圍．

解答：（1）證明：由題意，f（a_n）=m²•m^n-1=mⁿ⁺¹，即man=mn+1．
∴a_n=n+1，（2分）
∴a_n+1-a_n=1，∴數列{a_n}是以2為首項，1為公差的等差數列．（4分）
（2）解：由題意b_n=a_n•f（a_n）=（n+1）•mⁿ⁺¹，
當m=2時，b_n=（n+1）•2ⁿ⁺¹
∴S_n=2•2²+3•2³+4•2⁴+…+（n+1）•2ⁿ⁺¹　①（6分）
①式兩端同乘以2，得
2S_n=2•2³+3•2⁴+4•2⁵+…+n•2ⁿ⁺¹+（n+1）•2ⁿ⁺²　②
②-①并整理，得
S_n=-2•2²-2³-2⁴-2⁵-…-2ⁿ⁺¹+（n+1）•2ⁿ⁺²
=-2²-（2²+2³+2⁴+…+2ⁿ⁺¹）+（n+1）•2ⁿ⁺²
=-2²-

22(1-2n)

1-2

+（n+1）•2ⁿ⁺²
=-2²+2²（1-2ⁿ）+（n+1）•2ⁿ⁺²=2ⁿ⁺²•n．（9分）
（3）解：由題意c_n=f（a_n）•lgf（a_n）=mⁿ⁺¹•lgmⁿ⁺¹=（n+1）•mⁿ⁺¹•lgm，
要使c_n＜c_n+1對一切n∈N^*成立，
即（n+1）•mⁿ⁺¹•lgm＜（n+2）•mⁿ⁺²•lgm，對一切n∈N^*成立，
①當m＞1時，lgm＞0，所以n+1＜m（n+2）對一切n∈N^*恒成立；（11分）
②當0＜m＜1時，lgm＜0，所以等價使得

n+1

n+2

＞m對一切n∈N^*成立，
因為

n+1

n+2

=1-

1

n+2

的最小值為

2

3

，所以0＜m＜

2

3

．
綜上，當0＜m＜

2

3

或m＞1時，數列{c_n}中每一項恒小于它后面的項．（14分）

點評：本題考查等差數列與等比數列的綜合，考查數列的通項與求和，考查恒成立問題，確定數列的通項，掌握求和公式是關鍵．