Question

已知f（x）=m^x（m為常數，m＞0且m≠1）．設f（a₁），f（a₂），…，f（a_n），…（n∈N^*）是首項為m²，公比為m的等比數列．
（Ⅰ）求證：數列{a_n}是等差數列；
（Ⅱ）若b_n=a_n•f（a_n），且數列{b_n}的前n項和為S_n，當m=2時，求S_n．

Answer 1

分析：（I）根據等比數列的通項公式，可得f（a_n）=m²•m^n-1=mⁿ⁺¹，從而可得a_n=n+1，進而可證數列{a_n}是以2為首項，1為公差的等差數列；
（II）當m=2時，b_n=（n+1）•2ⁿ⁺¹，利用錯位相減法可求數列的和；

解答：證明：（I）由題意f（a_n）=m²•m^n-1=mⁿ⁺¹，
即man=mn+1．
∴a_n=n+1，（2分）
∴a_n+1-a_n=1，
∴數列{a_n}是以2為首項，1為公差的等差數列．
解：（II）由題意b_n=a_n•f（a_n）=（n+1）•mⁿ⁺¹，
當m=2時，b_n=（n+1）•2ⁿ⁺¹
∴S_n=2•2²+3•2³+4•2⁴+…+（n+1）•2ⁿ⁺¹　①
①式兩端同乘以2，得
2S_n=2•2³+3•2⁴+4•2⁵+…+n•2ⁿ⁺¹+（n+1）•2ⁿ⁺²　②
②-①并整理，得
S_n=-2•2²-2³-2⁴-2⁵-…-2ⁿ⁺¹+（n+1）•2ⁿ⁺²
=-2²-（2²+2³+2⁴+…+2ⁿ⁺¹）+（n+1）•2ⁿ⁺²
=-2²-

2 2(1-2n)

1-2

+（n+1）•2ⁿ⁺²
=-2²+2²（1-2ⁿ）+（n+1）•2ⁿ⁺²
=2ⁿ⁺²•n．

點評：本題考查等差數列與等比數列的綜合，考查數列的通項與求和，考查恒成立問題，確定數列的通項，掌握求和公式是關鍵．