Question

【題目】如圖，平行四邊形ABCD中，BC=2AB=4，∠ABC=60°，PA⊥AD，E，F分別為BC，PE的中點，AF⊥平面PED．
（1）求證：PA⊥平面ABCD
（2）求直線BF與平面AFD所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）解：連接AE，

∵AF⊥平面PED，ED平面PED，

∴AF⊥ED，

在平行四邊形ABCD中，BC=2AB=4，∠ABC=60°，

∴AE=2， ，

∴AE2+ED2=AD2，∴AE⊥ED，

又∵AF∩AE=A，AF平面PAE，PA平面PAE，

∴ED⊥平面PAE，∵PA平面PAE，

∴ED⊥PA，

又PA⊥AD，AD∩ED=D，AE平面ABCD，AD平面ABCD，

∴PA⊥平面ABCD．

（2）以E為坐標原點，以EA，ED為x軸，y軸建立如圖所示的空間直角坐標系，

則A（0，2，0）， ， ，

∵AF⊥平面PED，所以AF⊥PE，

又F為PE中點，∴PA=AE=2，

∴P（0，2，2），F（0，1，1），

∴ ， ， ，

設平面AFD的法向量為 ，

由 ， 得， ，

令x=1，得 ．

設直線BF與平面AFD所成的角為θ，則： ，

即直線BF與平面AFD所成角的正弦值為 ．

【解析】（1.）利用勾股定理的逆定理得出AE⊥DE，由AF⊥平面PED得DE⊥AF，故而DE⊥平面PAE，于是DE⊥PA，結合PA⊥AD得出PA⊥平面ABCD；

（2.）以E為原點建立空間坐標系，求出平面ADF的法向量 ，則|cos＜ ＞|為直線BF與平面AFD所成角的正弦值．

【考點精析】本題主要考查了直線與平面垂直的判定和空間角的異面直線所成的角的相關知識點，需要掌握一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則才能正確解答此題．