Question

【題目】已知函數f（x）=xe2x﹣lnx﹣ax．
（1）當a=0時，求函數f（x）在[ ，1]上的最小值；
（2）若x＞0，不等式f（x）≥1恒成立，求a的取值范圍；
（3）若x＞0，不等式f（ ）﹣1≥ e + 恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：a=0時，f（x）=xe2x﹣lnx，

∴ ， ，

∴函數f′（x）在（0，+∞）上是增函數，

又函數f′（x）的值域為R，

故x0＞0，使得f′（x0）=（2x0+1）e ﹣ =0，

又∵ ，∴ ，∴當x∈[ ]時，f′（x）＞0，

即函數f（x）在區間[ ，1]上遞增，∴

（2）解： ，

由（1）知函數f′（x）在（0，+∞）上是增函數，且x0＞0，使得f′（x0）=0，

進而函數f（x）在區間（0，x0）上遞減，在（x0，+∞）上遞增，

﹣lnx0﹣ax0，

由f′（x0）=0，得：（2x0+1）e ﹣ ﹣a=0，

∴ ，∴f（x0）=1﹣lnx0﹣2x02 ，

∵x＞0，不等式f（x）≥1恒成立，

∴1﹣lnx0﹣2x02e ≥1，∴lnx0+2x02 ≤0，

設h（x0）=lnx0+2x e ，則h（x0）為增函數，且有唯一零點，設為t，

則h（t）=lnt+2t2e2t=0，則﹣lnt=2t2e2t，即 ，

令g（x）=xex，則g（x）單調遞增，且g（2t）=g（ ），

則2t=ln ，即 ，

∵a=（2x0+1） ﹣ 在（0，t]為增函數，

則當x0=t時，a有最大值， = ，

∴a≤2，∴a的取值范圍是（﹣∞，2]

（3）解：由f（ ）﹣1≥ ，

得 ，

∴xlnx﹣x﹣a≥ ，∴a 對任意x＞0成立，

令函數g（x）=xlnx﹣x﹣ ，∴ ，

當x＞1時，g′（x）＞0，當0＜x＜1時，g′（x）＜0，

∴當x=1時，函數g（x）取得最小值g（1）=﹣1﹣ =﹣1﹣ ，

∴a≤﹣1﹣ ．

∴a的取值范圍是（﹣∞，﹣1﹣ ）

【解析】（1）a=0時， ， ，由此利用導數性質能求出函數f（x）在[ ，1]上的最小值．

（2） ，函數f（x）在區間（0，x0）上遞減，在（x0，+∞）上遞增，由x＞0，不等式f（x）≥1恒成立，得lnx0+2x02 ≤0，由此能求出a的取值范圍．

（3）由f（ ）﹣1≥ ，得a 對任意x＞0成立，令函數g（x）=xlnx﹣x﹣ ，則 ，由此利用導數性質能求出a的取值范圍．

【考點精析】掌握利用導數研究函數的單調性和函數的最大(小)值與導數是解答本題的根本，需要知道一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．