Question

【題目】已知函數f（x）=x2+2bx+5（b∈R）．
（1）若b=2，試解不等式f（x）＜10；
（2）若f（x）在區間[﹣4，﹣2]上的最小值為﹣11，試求b的值；
（3）若|f（x）﹣5|≤1在區間（0，1）上恒成立，試求b的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）=x2+4x+5＜10，

即x2+4x﹣5＜0，

即（x+5）（x﹣1）＜0，

解得﹣5＜x＜1，

故不等式的解集為（﹣5，1）

（2）解：f（x）=x2+2bx+5=（x+b）2﹣b2+5，

其對稱軸為x=﹣b，

當b＜﹣4時，在區間[﹣4，﹣2]上單調遞增，故ymin=16﹣8x+5=﹣11，解得b=4，舍去

當﹣4≤b≤﹣2時，在對稱軸處取最小值，故ymin=﹣b2+5=﹣11，解得b=﹣4，

當b＞﹣2時，在區間[﹣4，﹣2]上單調遞減，故ymin=4﹣4b+5=﹣11，解得b=5，

綜上所述：b的值為﹣4或5

（3）解：|f（x）﹣5|≤1在區間（0，1）上恒成立，

∴|x2+bx|≤1在區間（0，1）上恒成立，

∴﹣1≤x2+2bx≤1，

∴﹣x﹣ ≤2b≤﹣x+

∵函數y=﹣x﹣ 在（0，1）上為增函數，y＞﹣1﹣1=﹣2，

函數y=﹣x+ 在（0，1）上為減函數，y＜﹣1+1=0，

∴﹣2≤2b≤0，

解得﹣1≤b≤0，

故b的取值范圍為[﹣1.0]

【解析】（1）根據一元二次不等式的解法解得即可．（2）根據所給的二次函數的性質，寫出對于對稱軸所在的區間不同時，對應的函數的最小值，（3）利用函數的單調性分別求出y= ﹣x 的最小值為0，y=﹣x﹣ 的最大值為﹣2，由此求得b的取值范圍．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用二次函數的性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握當時，拋物線開口向上，函數在上遞減，在上遞增；當時，拋物線開口向下，函數在上遞增，在上遞減．